\chapter{欧拉如何“证明”欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$：\\ 从启发式探索到严格推导}
\author{李国斌}
\date{2025年09月03日}
	
	\begin{abstract}
		莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1734年首次提出了现在被称为欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$ 的概念。然而，欧拉的“证明”并非现代分析学意义上的严格证明，而是一系列天才的、启发式的数学探索和数值计算。他敏锐地观察到调和级数前 $n$ 项和 $H_n$ 与自然对数 $\ln n$ 之差趋于一个稳定值，并成功地推导出了这个常数的级数表示和近似值。本文旨在详细重构欧拉的历史性推导思路，并在此基础上用现代严格的 $\epsilon$-$\delta$ 语言补充证明该常数的存在性及其级数表示，阐明欧拉原始方法与现代严格方法之间的联系与区别。
		\textbf{关键词}：欧拉-马歇罗尼常数；欧拉；调和级数；渐近展开；严格证明
	\end{abstract}
	
	\section{引言：欧拉的洞察与时代背景}
	在18世纪，数学的严格性标准与今日大相径庭。数学家们更侧重于通过公式推导、数值计算和直观类比来发现新结果。1734年，欧拉正在研究调和级数的发散速度，并试图将其与对数函数这一当时新兴的概念联系起来。他的目标是为发散级数的“有限部分”寻找一个精确的表达式。
	
	欧拉的核心洞察在于：尽管 $H_n \sim \ln n$（两者都发散至无穷），但它们的差 $H_n - \ln n$ 似乎随着 $n$ 增大而稳定地趋近于一个介于 $0.577$ 到 $0.5772$ 之间的常数。他并非简单地“证明”这个极限存在，而是\textbf{假设}其存在，并在此基础上进行了一系列强大的运算，从而“推导”出了这个常数的各种表达式和数值近似。
	
	\section{欧拉的启发式推导（1734）}
	\subsection{第一步：观察与假设}
	欧拉从观察开始。他计算了：
	\begin{align*}
		n = 10 &: H_{10} - \ln(10) \approx 2.928968 - 2.302585 = 0.626383 \\
		n = 100 &: H_{100} - \ln(100) \approx 5.187378 - 4.605170 = 0.582208 \\
		n = 1000 &: H_{1000} - \ln(1000) \approx 7.485471 - 6.907755 = 0.577716
	\end{align*}
	序列 $D_n = H_n - \ln n$ 的值缓慢减小且似乎有下界。欧拉假设极限 $\lim_{n \to \infty} (H_n - \ln n)$ 存在，并将其记为 $C$（后来记为 $\gamma$）。
	\begin{equation}\label{eq:euler_assumption}
		H_n = \ln n + C + \epsilon_n \quad \text{其中} \quad \epsilon_n \to 0 \quad \text{当} \quad n \to \infty
	\end{equation}
	
	\subsection{第二步：欧拉-麦克劳林求和公式的应用}
	欧拉（与麦克劳林独立地）发展出了强大的求和公式，可将求和与积分联系起来。他将此公式应用于调和级数。
	
	对于函数 $f(x) = 1/x$，欧拉-麦克劳林公式给出：
	\[
	\sum_{k=1}^{n} f(k) = \int_{1}^{n} f(x)  dx + \frac{f(1) + f(n)}{2} + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(n) - f^{(2k-1)}(1) \right) + R_m
	\]
	其中 $B_{2k}$ 是伯努利数。
	
	代入 $f(x)=1/x$，其导数为 $f^{(k)}(x) = (-1)^k k! / x^{k+1}$。欧拉进行了如下推导：
	\begin{align*}
		H_n &= \int_{1}^{n} \frac{1}{x}  dx + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( (-1)^{2k-1} (2k-1)! \left( \frac{1}{n^{2k}} - 1 \right) \right) \\
		&= \ln n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k} \left( \frac{1}{n^{2k}} - 1 \right)
	\end{align*}
	这是一个渐近展开，而非收敛级数。将其重排，欧拉得到：
	\[
	H_n = \ln n + \underbrace{\left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k} \right)}_{C \, (\text{即 } \gamma)} + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k} \frac{1}{n^{2k}}
	\]
	他由此识别出常数项：
	\begin{equation}\label{eq:euler_series}
		\gamma = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k}
	\end{equation}
	这是 $\gamma$ 的第一个级数表示。取前几项（$B_2=1/6, B_4=-1/30, B_6=1/42, ...$）：
	\[
	\gamma \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{12} - \frac{1}{120} + \frac{1}{252} - \frac{1}{240} + \cdots \approx 0.577218
	\]
	这与他的数值计算高度吻合，强有力地支持了他的假设。
	
	\subsection{第三步：积分表示的发展}
	利用几何级数恒等式 $\frac{1}{1 - e^{-t}} = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-kt}$，欧拉考虑了如下积分：
	\[
	\int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-t}} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt = \int_{0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} e^{-kt} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt
	\]
	他交换了求和与积分（未严格证明）：
	\[
	= \sum_{k=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(k+1)t}  dt - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}  dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k+1} - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}  dt
	\]
	他发现右边是发散的 ($H_{\infty} - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$)。然而，通过将积分下限设为 $1/N$ 并取极限 $N \to \infty$，他能够“重现”出 $H_n - \ln n$ 的表达式，从而将积分与常数 $\gamma$ 联系起来。这导致了积分表示：
	\begin{equation}\label{eq:euler_integral}
		\gamma = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-t}} - \frac{1}{t} \right) e^{-t}  dt
	\end{equation}
	
	\section{现代严格证明}
	欧拉的推导是开创性的，但依赖于当时未被严格证明的运算（如交换求和与积分、使用发散级数）。现代数学为他的结论提供了坚实的基础。
	
	\subsection{定理1：极限 $\lim_{n \to \infty} (H_n - \ln n)$ 的存在性}
	\begin{proof}[证明]
		定义序列 $a_n = H_n - \ln n$。
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{有下界}：考虑区间 $[k, k+1]$，由于 $1/x$ 单调递减，有 $\frac{1}{k+1} < \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x}  dx < \frac{1}{k}$。因此：
			\[
			\frac{1}{k+1} < \ln(k+1) - \ln k < \frac{1}{k}
			\]
			取 $k=1,2,...,n-1$ 并求和，得到：
			\[
			H_n - 1 < \ln n < H_{n-1}
			\]
			这暗示 $a_n > 0$，但我们需要更精确的估计。从 $\frac{1}{k+1} < \ln(k+1) - \ln k$ 可得：
			\[
			a_{n} = H_n - \ln n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1} - \ln n > 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (\ln(k+1) - \ln k) - \ln n = 1 + (\ln n - \ln 1) - \ln n = 1
			\]
			这个下界太弱。实际上，从 $\ln(k+1) - \ln k < \frac{1}{k}$ 可得：
			\[
			a_n = H_n - \ln n > H_n - (H_n - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} > 0
			\]
			一个更好的下界是 $a_n > \frac{1}{2}$（可通过更精细的积分比较证明），但存在性不需要精确下界，只需有下界。
			
			\item \textbf{单调递减}：考虑差值：
			\begin{align*}
				a_{n} - a_{n+1} &= (H_n - \ln n) - (H_{n+1} - \ln(n+1)) \\
				&= -\frac{1}{n+1} - \ln n + \ln(n+1) \\
				&= \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n+1}
			\end{align*}
			利用不等式 $\ln(1+x) < x$（对于 $x > -1, x \neq 0$），令 $x = 1/n$，得：
			\[
			\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}
			\]
			因此：
			\[
			a_{n} - a_{n+1} < \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} > 0
			\]
			但这只说明 $a_n - a_{n+1} < \text{某正数}$，无法直接判断符号。\\
			实际上，考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x} - \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ 对于 $x \geq 1$。可以证明 $f(x) > 0$（例如，求导证明其单调性并在 $x \to \infty$ 处求极限）。那么：
			\[
			a_n - a_{n+1} = \left( \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right) - \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = f(n) - \frac{1}{n(n+1)}
			\]
			这仍然复杂。\\
			\textbf{标准证明单调性的方法}：观察 $a_n - a_{n+1} = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n+1}$。\\
			利用积分：$\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x}  dx$。\\
			由于函数 $1/x$ 在 $[n, n+1]$ 上严格递减，有：
			\[
			\frac{1}{n+1} < \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x}  dx < \frac{1}{n}
			\]
			因此：
			\[
			\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x}  dx - \frac{1}{n+1} > 0 \quad \Rightarrow \quad a_n - a_{n+1} > 0
			\]
			所以序列 $\{a_n\}$ 是严格递减的。
		\end{enumerate}
		综上所述，序列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界（例如 $0$），因此由单调有界收敛定理，极限 $\lim_{n \to \infty} a_n = \gamma$ 存在。
	\end{proof}
	
	\subsection{定理2：$\gamma$ 的级数表示}
	\begin{equation}\label{eq:modern_series}
		\gamma = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right)
	\end{equation}
	\begin{proof}[证明]
		注意到：
		\[
		\ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x}  dx
		\]
		因此：
		\[
		\frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \int_{k}^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x} \right) dx
		\]
		部分和：
		\begin{align*}
			S_N &= \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right) \\
			&= \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{N} \left( \ln(k+1) - \ln k \right) \\
			&= H_N - \ln(N+1)
		\end{align*}
		因此：
		\[
		\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} (H_N - \ln(N+1)) = \lim_{N \to \infty} \left( H_N - \ln N - \ln\left(1 + \frac{1}{N}\right) \right) = \gamma - 0 = \gamma
		\]
		这就严格证明了级数表示 $\gamma = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right)$。
	\end{proof}
	
	\section{结论：欧拉的天才与现代的严格}
	欧拉对常数 $\gamma$ 的“证明”是其数学直觉和形式运算能力的典范。他在缺乏现代严格基础的情况下：
	\begin{itemize}
		\item 通过数值计算敏锐地猜测到极限的存在。
		\item 运用欧拉-麦克劳林公式等强大工具，推导出了常数的级数表示 \eqref{eq:euler_series} 和积分表示 \eqref{eq:euler_integral}，并计算了其高精度近似值。
		\item 为这个常数在数论、分析学中的广泛应用奠定了基础。
	\end{itemize}
	
	现代数学并没有否定欧拉的工作，而是为其提供了坚固的逻辑基石（单调有界定理、一致收敛等），将他的启发式论证转化为无可挑剔的严格证明 \eqref{eq:modern_series}。欧拉的成功再次证明，深刻的数学直觉往往是发现新领域的指南，而严格性则随之而来，为其修筑坚实的道路。
	